Matemáticas con las manos - Juan S. Barrero

Mosaicos

¿QUÉ SON?

Un Mosaico (teselación) es un recubrimiento de una superficie con piezas de distintas formas y tamaños (llamadas TESELAS) que se acoplan entre sí sin montarse y sin dejar huecos.

Un friso es una teselación de un sector del plano limitado por dos rectas paralelas.

Los mosaicos que trabajaremos utilizan como teselas figuras geométricas, y otras obtenidas por transformación de las primeras.

Por ejemplo:

recortad triángulos equiláteros en tres colores.
Juntad dos de cada color formando un rombo. ASí tendremos tres rombos, uno de cada color.
Juntad los tres rombos formando un hexágono.
Repitiendo esto, y acoplando los exágonos en la misma posición tendremos un mural como el de la imagen.

CLASIFICACIONES DE MOSAICOS

Cristalográfica

Según las transformaciones isométricas realizadas sobre una figura.
Solamente hay 17 grupos que se agrupoan según el orden máximo de sus giros:

sin giros: 4 grupos de simetrías.
con giros de 180º: 5 grupos de simetrías.
con giros de 120°: 3 grupos de simetrías.
con giros 90°: 3 grupos de simetrías.
con giros de 60°: 2 grupos de simetrías.

Nomenclatura

Cada grupo cristalográfico se nombra con cuatro símbolos de la forma: axyz:

Símbolo "a".
Letra "p" o "c".
Denota si paralelogramo fundamental es centrado o no.
c => centrado. El paralelogramo fundamental es un rombo que se puede incluir centrándolo en un rectángulo.
p => primitivo. En otro caso.
Símbolo "x".
Un numero 1,2,3,4 o 6.
Indica el mayor orden de rotación (número máximos de giros para dejar la figura en su posición inicial:
1 => ángulo de 360º
2 => ángulo de 180º
3 => ángulo de 120º
4=> ángulo de 90º
6 => ángulo de 60º
Símbolo "y".
Una letra o numero: "m", "g", o "1".
Indica el tipo de simetría:
m =>("mirror" = espejo) simetría especular o axial
g =>(glide = deslizamiento simetría con deslizamiento.
1 => sin simetría.
Símbolo "z".
Una letra o numero: "m", "g", o "1".
Igual que el símbolo "y" con respecto a un segundo tipo de ejes de simetría.

Ejemplo:

p: paralelogramo primitivo
2: Orden de giro 2, es decir, 180º.
m (Mirror = espejo): Simetría axial
g (Glide = deslizamiento): presenta un segundo orden de simetría axial con deslizamiento

Morfológica

Según la forma y el número de polígonos que concurren en un vértice, indicando el número de lados de cada polígono, siguiendo el mismo sentido de giro y separados por comas:

MOSAICOS REGULARES: Se forman con un único polígono regular
MOSAICOS SEMIREGULARES UNIFORMES: Intervienen más e un polígono regular pero en todo el mosaico y en torno a un vértice los polígonos se agrupan en el mismo orden
MOSAICOS SEMIREGULARES NO UNIFORMES: Intervienen más e un polígono regular pero en el mosaico y en torno a un vértice los polígonos se agrupan en el mismo orden aunque es necesario utiliar otros polígonos para cerrar el mosaico

Ejemplo:

3: polígono regular de TRES lados: TRIÁNGULO EQUILÁTERO
4: polígono regular de CUATRO lados: CUADRADO

Este mosaico se forma componiendo en un vértice:

Dos triángulos equiláteros
Un cuadrado
Otro triángulo equilátero
Otro cuadrado

Es semirregular por utilizar más de un polígono; y uniforme por no necesitar de otros polígonos para "cerrar" el vértice

CLASIFICACIÓN DE FRISOS

Cada friso se nombra con 4 dígitos de la forma: pxyz

Símbolo "P":
Todos los patrones comienzan por p (periódico).
Símbolo "X":
Número o letra "1" o "m".
Denota la presencia de simetrías verticales.
1 => Sin simetrías
m => Con simetría vertical
Símbolo "Y":
Número o letra "1" , "m" o "g".
Denota la presencia de simetrías horizontales y deslizamientos.
1 => Sin simetrías
m => Con simetría horizontal
g => Con simetría con deslizamiento
Símbolo "Z":
Número "1" o "2".
Denota la presencia de giros.
1 => Sin giros o giro de orden 1 (360º)
2 => Con giros de orden 2 (180º)

Ejemplo:

p: friso periódico
m (Mirror = espejo): Simetría horizontal
g (Glide = deslizamiento): presenta un segundo orden de simetría vertical con deslizamiento
2: Orden de giro 2, es decir, 180º.